题目

数列{an}中,a1=1,a3=3且2a(n+1)=a(n+2)+an (n∈N+)
数列{bn}的前n项和为Sn,其中b1=-2/3,b(n+1)=-2/3Sn(n∈N+).
(1)求{an}和{bn}的通项公式
（2）若Tn=a1/b1+a2/b2+...+an/bn,求Tn的表达式

提问时间：2021-04-01

答案

(1)因为2a(n+1)=a(n+2)+an (n∈N+)
所以an是等差数列
a1=1,a3=3
d=1 an=n
bn=-2/3S(n-1)
b(n+1)-bn==-2/3bn
b(n+1)/bn=1/3
b1=-2/3,b2=4/9 b2/b1不等于1/3
bn=-2/3 (n=1)
bn=4/9×(1/3)^(n-2) (n>=2)
(2)当n=1时
T1=a1/b1=-3/2
当n>1时
an/bn=n/(4/9×(1/3)^(n-2))=1/4×（n×3^n）
Tn=a1/b1+a2/b2+...+an/bn=-3/2+1/4×（2×3^2+……+n×3^n）
设Mn=2×3^2+……+n×3^n
3×Mn=2×3^3+……+n×3^（n+1）
Mn-3×Mn=2×3^2+1×3^3+……+1×3^n-n×3^（n+1）
Mn=-27/4+(n/2-1/4)×（3^(n+1)）
Tn=-3/2+1/4×Mn=-51/16+(n/8-1/16)×（3^(n+1)）