题目

设n为正整数,求证（3的n次方+3的（n+2）次方+6的2n次方）能被33整除.

提问时间：2021-04-01

答案

（3的n次方+3的（n+2）次方+6的2n次方）=3^N＋3^（N＋2）＋6^2N
用假设法
假设N＝1
3^N＋3^（N＋2）＋6^2N＝3＋3^3＋6^2＝3＋27＋36＝66,能被33整除,故假设成立.
假设N＝K的时候,3^K＋3^（K＋2）＋6^（2K）被33整除成立,则当N＝K＋1的时候.
3^N＋3^（N＋2）＋6^2N
＝3^（K＋1）＋3^（K＋1＋2）＋6^2（K＋1）
＝3×（3^K）＋3×[3^（K＋2）]＋6^2×6^（2K）
＝3×[3^K＋3^（K＋2）＋6^（2K）]＋6^2×6^（2K）－3×6^（2K）
＝3×[3^K＋3^（K＋2）＋6^（2K）]＋33×6^（2K）
由于3^K＋3^（K＋2）＋6^（2K）和33×6^（2K）都能被33整除,故假设成立.