题目

已知函数f(x)=(mx^2+2)/(3x+n)是奇函数,判断函数f(x)在(1,正无穷)的单调性,并证明.之前求出m=2,n=0.求证明!

提问时间：2021-04-01

答案

奇函数：f(-x)=-f(x)
f(-x)=(mx^2+2)/(-3x+n)=-(mx^2+2)/(3x+n)
得出：(-3x+n)=-(3x+n).得到n=0(x不等于0)
得到f(x)=(mx^2+2)/3x（x不等于0）
设x1小于x2,且属于(1,正无穷)
则f(x1)-f(x2)=(mx1^2+2)/3x1-(mx2^2+2)/3x2
=(mx2x1^2+2x2-mx1x2^2-2x1)/3x1x2
=2mx1x2(x2-x1)/3x1x2
x1小于x2,且属于(1,正无穷)
上式f(x1)-f(x2)=2m(x2-x1)/3
当m大于0时,上式大于0,f(x)为增函数
当m小于0时,上式小于0,f(x)为减函数
之前,应当无法证明m=2,除非还其它的条件.因为此题中,n=0（x 不等于0）可证明为奇函数