题目

用微元法求曲线y=sinx(-π≤x≤π)绕x轴旋转一周而形成的旋转体的体积

提问时间：2021-04-01

答案

就看0-π段：将0-π分为n（n→∞）段,每段Δx=π/n,将旋转体分为无数个薄片
对于左边为xi的薄片（xi=iΔx）Vi=πΔx(sin(xi))²=0.5πΔx(1-cos(2xi))
求和V=ΣVi=Σ0.5πΔx-0.5πΣΔxcos(2xi)
=0.5π²-0.5πΔx[sin(nΔx)cos((n+1)Δx)]/[sinΔx] （根据余弦级数和公式）
=0.5π²-0.5πsin(nΔx)cos(nΔx)
=0.5π²-0.25πsin(2nΔx)
=0.5π²-0.25πsin2π
=0.5π²
左边也一样,所以体积=2V=π²