题目

复合函数的构成条件是什么?怎样算是初等函数?怎样算是复合函数?

提问时间：2021-04-01

答案

定义
设y=f(μ),μ=φ(x),当x在μ=φ(x)的定义域Dφ中变化时,μ=φ(x)的值在y=f(μ)的定义域Df内变化,因此变量x与y之间通过变量μ形成的一种函数关系,记为
y=f(μ)=f[φ(x)]称为复合函数,其中x称为自变量,μ为中间变量,y为因变量(即函数)
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生成条件
不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数,只有当μ=φ(x)的值域Zφ和y=f(μ)的定义域Df的交集不为空集时,二者才可以复合成一个复合函数.
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定义域
若函数y=f(u)的定义域是B,函数u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是
D={x|x∈A,且g(x)∈B}
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周期性
设y=f(x),的最小正周期为T1,μ=φ(x）的最小正周期为T2,则y=f(μ)的最小正周期为T1*T2,任一周期可表示为k*T1*T2（k属于R+）
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增减性
依y=f(x),μ=φ(x)的增减性决定.即“增增得增,减减得增,增减得减”,可以简化为“同增异减”
判断复合函数的单调性的步骤如下：(1)求复合函数定义域；(2)将复合函数分解为若干
个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)；(3)判断每个常见函数的单调性；(4)将中间
变量的取值范围转化为自变量的取值范围；(5)求出复合函数的单调性.
例如：讨论函数y=0.8^(x2-4x+3)的单调性.
函数定义域为R.
令u=x2-4x+3,y=0.8^u.
指数函数y=0.8^u在(-∞,+∞)上是减函数,
u=x2-4x+3在(-∞,2]上是减函数,在[2,+∞)上是增函数,
∴ 函数y=0.8^(x2-4x+3)在(-∞,2]上是增函数,在[2,+∞)上是减函数.
利用复合函数求参数取值范围
求参数的取值范围是一类重要问题,解题关键是建立关于这个参数的不等式组,必须
将已知的所有条件加以转化.