题目

求证：y=ax²+2bx+c，y=bx²+2cx+a，y=cx²+2ax+b（a，b，c是互不相等的实数），三条抛物线至少有一条与x轴有两个交点．

提问时间：2021-04-01

答案

证明：假设这三条抛物线全部与x轴只有一个交点或没有交点，
则有

△1＝4b2−4ac≤0 △2＝4c2−4ab≤0 △3＝4a2−4bc≤0

三式相加，得a²+b²+c²-ab-ac-bc≤0⇔（a-b）²+（b-c）²+（c-a）²≤0．
∴a=b=c与a，b，c是互不相等的实数矛盾，
∴这三条抛物线至少有一条与x轴有两个交点．

对于“至少”型的问题，可利用反证法，导出矛盾即可．

本题考点：二次函数的性质．

考点点评：本题考查二次函数的性质，突出考查反证法的应用，利用反证法时得到a²+b²+c²-ab-ac-bc≤0是关键，也是难点，考查转化思想与推理证明的能力，属于中档题．