题目

设F1F2是双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1.的左右焦点,点P在双曲线上,若向量PF1点乘向量PF2=0,且他们的模之积为2ac,则双曲线的离心率是?
A（1+根号5）/2 B（1+根号3）/2
C.2 D（1+根号2）/2
设F1F2是双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1.的左右焦点,点P在双曲线右支上的任意一点,若（向量PF1模的平方除以向量PF2的模）的最小值为8a,则双曲线的离心率的取值范围是
A（1,+∞） B（1,2】 C（1,根号3】 D（1,3】

提问时间：2021-04-01

答案

1.
因为向量PF1*向量PF2=0,所以PF1⊥ PF2；所以PF1^2+PF2^2=F1F2^2=(2c)^2=4c^2
又|向量PF1|*|向量PF2|=2ac,而P在双曲线上,|IPF1I-lPF2l|=2a
所以,|IPF1I-lPF2l|^2=PF1^2+PF2^2-2|PF1|*|PF2|
即4a^2=4c^2-4ac,c^2-ac-a^2=0,
所以e^2-e-1=0,e=(1+√5)/2
选A.
2.
P为双曲线右支上的任意一点,
则|PF1|-|PF2|=2a
|PF1|=2a+|PF2|
|PF1|^2=(2a+|PF2|)^2
=4a^2+4a|PF2|+|PF2|^2
所以|PF1|^2/|PF2|
=4a^2/|PF2|+4a+|PF2|
=(4a^2/|PF2|+|PF2|)+4a
>=2√(4a^2/|PF2|*|PF2|)+4a =8a
这个等号当4a^2/|PF2|=|PF2|时成立
即|PF2|^2=4a^2
|PF2|=2a
显然当P在(-a,0)点时|PF2|有最小值,|PF2|的最小值为c-a,
即|PF2|≥c-a,2a≥c-a,
所以c≤3a ,c/a≤3.
又因双曲线离心率e>1,
所以e的取值范围是(1,3].
选D.