题目

已知函数f(x)＝

1

3

ax3−x2+2，x∈R．
（Ⅰ）若a=3，求曲线y=f（x）在点x=2处的切线方程；
（Ⅱ）若对任意的x∈[-1，2]，都有f（x）>0恒成立，求a的取值范围．

提问时间：2021-04-01

答案

（Ⅰ）a=3时，f（x）=x³-x²+2，f（2）=6，f'（x）=3x²-2x，f'（2）=8，
∴切线方程为：y=8x-10
（Ⅱ）f'（x）=x（ax-2），
（1）a=0时，f'（x）=-2x，f（2）=-2<0，不符合题意，所以a≠0；
（2）f'（x）=x（ax-2）=0，x=0或

2

a

，
当0<

2

a

≤2，即a≥1时，

x	-1	（-1，0）	0	(0， 2 a )	2 a	( 2 a ，2)	2
f'（x）		+	0	_	0	+
f（x）	3−a 3	增	极大值2	减	极小值 2(3a2−2) 3a2	增	2(4a−3) 3

由a≥1得，f(

2

a

)＝

2(3a2−2)

3a2

>0．
∴只需f(−1)＝

3−a

3

>0且f(2)＝

2(4a−3)

3

>0，解得1≤a<3
（3）

2

a

>2，即0<a<1时，

x	-1	（-1，0）	0	（0，2）	2
f'（x）		+	0	_
f（x）	3−a 3	增	极大值2	减	2(4a−3) 3

0<a<1时，f(−1)＝

3−a

3

>0，只需f(2)＝

2(4a−3)

3

>0，解得

3

4

<a<1
（4）a<0时，f(2)＝

2(4a−3)

3

<0，不符合题意．
综上，

3

4

<a<3．

（Ⅰ）确定切点的坐标，求导函数，确定切线的斜率，即可得到切线方程；
（Ⅱ）求导函数，再分类讨论：（1）a=0时，不符合题意；（2）a≠0时，f'（x）=x（ax-2）=0，x=0或

2

a

，确定函数的最值，结合f（x）＞0恒成立，即可求a的取值范围．

本题考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．

考点点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查分类讨论的数学思想，考查恒成立问题，正确求导，合理分类是关键．