题目

怎样在一个半圆中画出面积最大的正方形?
见过一道数学题,第一问是说在一个半圆中画出面积最大的正三角形,第二问是在一个半圆中画出面积最大的正方形,第三问是问能否在一个半圆中画出面积最大的矩形吗?能,请求其最大面积,不能,请说明理由.
请高人将后两问都讲一下,感激不尽!

提问时间：2021-04-01

答案

第二问是在一个半圆中画出面积最大的正方形:
半圆半径R,正方形边长a(2个顶点在半圆的圆周上,2个在直径上),
R²=a²+(a/2)²,
R²=5a²/4,
a²=4R²/5,
面积最大的正方形的面积=a²=4R²/5;
第三问是问能否在一个半圆中画出面积最大的矩形吗?
半圆半径R,矩形长a,宽b(2个顶点在半圆的圆周上,2个在直径上),
R²=(a/2)²+b²,
b=√(R²-a²/4),
矩形的面积S=a*b
=a√(R²-a²/4)
=(1/2)√[4a²R²-(a²)²],
=(1/2)√[(2R²)²-(a²-2R²)²],
当a²-2R²=0时,S有最大值=(1/2)√[(2R²)²=R²,
a²=2R²,
所以当a=(√2)R,
b=√(R²-a²/4)=(√2)R/2时,S有最大值R².