题目

自然数a,若将其数字重新排列之后可得到自然数b,且a=3b,则称a为 希望数.
试说明：若a、c是希望数,则ac一定是729的倍数.
小弟谢过.

提问时间：2021-04-01

答案

∵a为“希望数”,依“希望数”定义知,存在一个由a的数字重新排列而成的自然数p,使得a=3p并且a的数字和等于p的数字和．
∵a=3p和a为3的倍数,但a的数字和等于P的数字和,
∴由整除判别法,知p为3的倍数,
∴p=3m,（m为正整数）,
∴a=3×p=3×3m=9m,
∴a被9整除．
∵a的数字和等于p的数字和,
∴由被9整除的判别法可知p能被9整除,即p=9k（k为整数）,
∴p=3a=3×9k=27k
∴a是27的倍数．
∴“希望数”一定能被27整除．
∵a,b都是“希望数”,
∴a,b都是27的倍数,即a=27n1,b=27n2（n1,n2为正整数）．
∴ab=（27n1）（27n2）
=（27×27）（n1×n2）
=729n1n2．
∴ab一定是729的倍数．