题目

一道数学题 求具体过程 万分感谢
长方体AC1中,底面ABCD为边长为2的正方形,高AA1为1,M,N分别为边C1D1与A1D1的中点（1）求证：四边形MNAC是等腰梯形；（2）求梯形MNAC的面积

提问时间：2021-03-31

答案

(1)连接A1C1,
MN是三角形A1C1D1的中位线
所以,MN平行A1C1,且MN=A1C1/2
AA1平行CC1,所以A,A1,C,C1共面
而AA1平行且等于CC1,
所以,AA1C1C为平行四边形
A1C1平行AC,且A1C1=AC
所以,MN平行AC
所以,M,N,A,C共面,且MNAC为梯形
而:AA1=CC1,A1N=A1D1/2=D1C1/2=MC1
RT三角形AA1N全等于RT三角形CC1M
AN=CM
所以MNAC是等腰梯形
(2)AC=(AB^2+BC^2)^(1/2)=2(根号2)
MN=A1C1/2=AC/2=根号2
AN=(AA1^2+A1N^2)^(1/2)=(AA1^2+(A1D1/2)^2)^(1/2)=根号2
等腰梯形MNAC的高=(AN^2-((AC-MN)/2)^2)^(1/2)=(根号6)/2
MNAC的面积=(MN+AC)*高/2=(3/2)(根号3)