题目

确定自然数n的值，使关于x的一元二次方程2x²-8nx+10x-n²+35n-76=0的两根均为质数，并求出此两根．

提问时间：2021-03-31

答案

设方程两根为x₁、x₂，则x₁+x₂=4n-5，
∵4n-5是奇数，即x₁+x₂是奇数，
∴x₁与x₂必定一奇一偶，而x₁与x₂都是质数，
故必有一个为2，不妨设x₁=2，则2×2²-（8n-10）×2-（n²-35n+76）=0，
∴n=3或n=16，
当n=3时，原方程即2x²-14x+20=0，此时两根为x₁=2，x₂=5，
当n=16时，原方程即2x²-118x+228=0，此时两根为x₁=2，x₂=57（舍去）．
∴n=3．

设方程两根为x₁、x₂，根据根与系数的关系可得x₁+x₂=4n-5，可得出两根之和为奇数，然后可得出x₁与x₂必有一个为2，令其中一个为2，代入方程后解出n的值，然后分别将n的值代入验证即可．

本题考点：质数与合数；根与系数的关系．

考点点评：本题考查根与系数的关系及质数与合数的关系，难度较大，关键得出两根之中有一个为2．