题目

已知函数f(x)=x/a(x+2),且方程f(x)=x有唯一解,方程f(x)=x有唯一解,
且f(X0)=1/1002,f(Xn-1)=Xn,n=1,2,3.
(1)问数列{1/Xn}是否是等差数列?
(2)求X2009的值
0,n-1,n,2009均为角标!

提问时间：2021-03-31

答案

方程f(x)=x
即x/a(x+2)=x
x=ax^2+2ax
ax^2+(2a-1)x=0有唯一解
a在分母,不等于0
所以这是二次方程
显然x=0是一个解
所以,所以两个解都是0
则方程的形式是ax^2=0
即(2a-1)x=0
2a-1=0
a=1/2
f(x)=2x/(x+2)
f(Xn-1)=Xn
所以Xn=2X(n-1)/[X(n-1)+2]
1/Xn=[X(n-1)+2]/2X(n-1)=X(n-1)/2X(n-1)+2/2X(n-1)=1/2+1/X(n-1)
所以1/Xn-1/X(n-1)=1/2,是一个定值
所以{1/Xn}是等差数列
1/Xn-1/X(n-1)=1/2
d=1/2
X1=f(X0)=1/1002
所以 1/X1=1002
1/X2009=1/X1+(2009-1)*1/2=2006
所以X2009=1/2006