题目

如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足为E、F．
（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并证明你的结论．
（2）在（1）中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形，为什么？

提问时间：2021-03-31

答案

（1）当AD=2AB时，四边形PEMF为矩形．
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∵AD=2AB=2CD，AM=DM=

1

2

AD，
∴AB=AM=DM=CD，
∴∠ABM=∠AMB=45°，∠DCM=∠DMC=45°，
∴∠BMC=180°-45°-45°=90°，
∵PE⊥MC，PF⊥BM，
∴∠MEP=∠FPE=90°，
∴四边形PEMF为矩形，
即当AD=2AB时，四边形PEMF为矩形．
（2）当P是BC的中点时，矩形PEMF为正方形．
理由是：∵四边形PEMF为矩形，
∴∠PFM=∠PFB=∠PEC=90°，
在△BFP和△CEP中

∠FBP＝∠ECP ∠PFB＝∠PEC BP＝CP

，
∴△BFP≌△CEP（AAS），
∴PE=PF，
∵四边形PEMF是矩形，
∴矩形PEMF是正方形，
即当P是BC的中点时，矩形PEMF为正方形．

（1）根据矩形的性质推出∠A=∠D=90°，AB=CD，AM=DM，求出∠ABM=∠AMB=45°，∠DCM=∠DMC=45°，求出∠BMC，即可求出矩形PEMF．
（2）根据AAS证△BFP≌△CEP，推出PE=PF即可．

本题考点：矩形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的性质；正方形的判定．

考点点评：本题主要考查对矩形的判定和性质，正方形的判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点的理解和掌握，熟练地运用性质进行推理是解此题的关键．