题目

设椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个焦点与抛物线C:y^2=8x的焦点重合,离心率e=2根号5/5,过椭圆的右焦点F作与坐标轴不重合的直线L,交椭圆于A、B两点.设M（1,0）,且（MA向量+MB向量）⊥AB向量,求直线L的方程

提问时间：2020-06-13

答案

（1）设椭圆的右焦点为（c,0）,
因为y2=8x的焦点坐标为（2,0）,所以c=2
因为 e=c/a=2√5/5,则a^2=5,b^2=1
故椭圆方程为： x^2/5+y2=1
（2）由（I）得F（2,0）,
设l的方程为y=k（x-2）（k≠0）
代入 x^2/5+y2=1,得（5k^2+1）x^2-20k^2x+20k^2-5=0,
设A（x1,y1）,B（x2,y2）,
则 x1+x2=20k^25/k^2+1,x1x2=20k^2-√5/5k^2+1,
∴y1+y2=k（x1+x2-4）,y1-y2=k（x1-x2）
∴ MA→+MB→=(x1-1,y1)+(x2-1,y2)=(x1+x2-2,y1+y2),AB→=(x2-x1,y2-y1)
∵ (MA→+MB→)•AB→=0,∴（x1+x2-2）（x2-x1）+（y2-y1）（y1+y2）=0∴ 20k^2×5^k2+1-2-4k2^×5k2+1=0,
∴ 3^k2-1=0,k=±√3/3
所以直线l的方程为 y=土√3/3(x-2)．