题目

是否存在正整数m，使得f（n）=（2n+7）•3ⁿ+9对任意正整数n都能被m整除？若存在，求出最大的m值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

提问时间：2021-03-31

答案

由f（n）=（2n+7）•3n+9，得f（1）=36，f（2）=3×36，f（3）=10×36，f（4）=34×36，由此猜想m=36．下面用数学归纳法证明：（1）当n=1时，显然成立．（2）假设n=k时，f（k）能被36整除，即f（k）=（2k+7）•3k+9...

我们将n=1，2，3，4依次代入，计算相应的f（n）的值，由此不难得到满足条件的m值，然后再根据数学归纳法对结论进行证明．

本题考点：数学归纳法．

考点点评：数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．