题目

若抛物线y=ax²-1上总存在两点关于直线x+y=0对称，则实数a的取值范围是（　　）
A. (

1

4

，+∞)
B. (

3

4

，+∞)
C. (0，

1

4

)
D. (

1

4

，

3

4

)

提问时间：2021-03-30

答案

设抛物线上关于直线l对称的两相异点为P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），线段PQ的中点为M（x₀，y₀），设
直线PQ的方程为y=x+b，由于P、Q两点存在，
所以方程组

y＝x+b y＝ax2−1

有两组不同的实数解，即得方程ax²-x-（1+b）=0．①
∵△=1+4a（1+b）＞0．②
由中点坐标公式可得，x₀=

x1+x2

2

=

1

2a

，y₀=x₀+b=

1

2a

+b．
∵M在直线L上，
∴0=x₀+y₀=

1

2a

+

1

2a

+b，
即b=-

1

a

，代入②解得a＞

3

4

．
故实数a的取值范围（

3

4

，+∞）
故选B

可设出对称的两个点P，Q的坐标，利用两点关于直线x+y=0成轴对称，可以设直线PQ的方程为y=x+b，由于P、Q两点存在，所以方程组y＝x+by＝ax2−1有两组不同的实数解，利用中点在直线上消去参数b，建立关于a的函数关系，求出变量a的范围．

本题考点：直线与圆锥曲线的关系．

考点点评：本题考查了直线与抛物线的位置关系，以及对称问题，体现了方程的根与系数关系及方程思想的应用，属于中档试题，有一定的计算量．