题目
已知f(x)=ln(ex+a)是定义域为R的奇函数,g(x)=λf(x).
(1)求实数a的值;
(2)若g(x)≤xlog2x在x∈[2,3]上恒成立,求λ的取值范围.
(1)求实数a的值;
(2)若g(x)≤xlog2x在x∈[2,3]上恒成立,求λ的取值范围.
提问时间:2021-03-30
答案
(1)函数f(x)=ln(ex+a)是定义域为R的奇函数,
令f(0)=0,即ln(1+a)=0,解得a=0,故函数f(x)=ln(ex)=x. …(4分)
显然有f(-x)=-f(x),函数f(x)=x是奇函数,满足条件,所求实数a的值为0.…(6分)
(2)f(x)=x,g(x)=λx,则λx≤xlog2x在x∈[2,3]上恒成立,即λ≤log2x在x∈[2,3]上恒成立,…(8分)
∵函数y=log2x在x∈[2,3]上的最小值为log22=1,…(11分)
∴λ≤1,即λ的取值范围为(-∞,1].…(12分)
令f(0)=0,即ln(1+a)=0,解得a=0,故函数f(x)=ln(ex)=x. …(4分)
显然有f(-x)=-f(x),函数f(x)=x是奇函数,满足条件,所求实数a的值为0.…(6分)
(2)f(x)=x,g(x)=λx,则λx≤xlog2x在x∈[2,3]上恒成立,即λ≤log2x在x∈[2,3]上恒成立,…(8分)
∵函数y=log2x在x∈[2,3]上的最小值为log22=1,…(11分)
∴λ≤1,即λ的取值范围为(-∞,1].…(12分)
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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