题目
求证:
(x-b)(x-c)/(a-b)(a-c)+(x-c)(x-a)/(b-c)(b-a)+(x-a)(x-b)/(c-a)(c-b)=1
是个恒等式
(x-b)(x-c)/(a-b)(a-c)+(x-c)(x-a)/(b-c)(b-a)+(x-a)(x-b)/(c-a)(c-b)=1
是个恒等式
提问时间:2021-03-29
答案
(要知道:n次多项式之多有n个不同的根.如二次方程最多只有两个根.)
显然a,b,c互不相等,构造函数f(x)=
(x-b)(x-c)/(a-b)(a-c)+(x-c)(x-a)/(b-c)(b-a)+(x-a)(x-b)/(c-a)(c-b)-1
显然这个多项式至多是2次的.
而f(a)=f(b)=f(c)=0,即f(x)至少有三个根,这与它的次数最多是2次的矛盾,
所以f(x)≡0
即(x-b)(x-c)/(a-b)(a-c)+(x-c)(x-a)/(b-c)(b-a)+(x-a)(x-b)/(c-a)(c-b)=1
显然a,b,c互不相等,构造函数f(x)=
(x-b)(x-c)/(a-b)(a-c)+(x-c)(x-a)/(b-c)(b-a)+(x-a)(x-b)/(c-a)(c-b)-1
显然这个多项式至多是2次的.
而f(a)=f(b)=f(c)=0,即f(x)至少有三个根,这与它的次数最多是2次的矛盾,
所以f(x)≡0
即(x-b)(x-c)/(a-b)(a-c)+(x-c)(x-a)/(b-c)(b-a)+(x-a)(x-b)/(c-a)(c-b)=1
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
英语翻译
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