题目

已知：如图，在△ABC中，D为AC边上一点，且AD=DC+CB．过D作AC的垂线交△ABC的外接圆于M，过M作AB的垂线MN，交圆于N．求证：MN为△ABC外接圆的直径．

提问时间：2021-03-28

答案

证明：延长AC至E，使CE=BC，连接MA、MB、ME、BE，如图，
∵AD=DC+BC，
∴AD=DC+CE=DE，
∵MD⊥AE，
∴MA=ME，∠MAE=∠MEA，
又∵∠MAE=∠MBC，
∴∠MEC=∠MBC，
又∵CE=BC，
∴∠CEB=∠CBE，
∴∠MEA+∠CEB=∠MBC+∠CBE，
即∠MEB=∠MBE，
∴ME=MB，
又∵ME=MA，
∴MA=MB，
又∵MN⊥AB，
∴MN垂直平分AB，
∴MN是圆的直径．

延长AC至E，使CE=BC，连接MA、MB、ME、BE，则AD=DE，而MD⊥AE，根据中垂线的性质得到MA=ME，利用等腰三角形的性质得∠MAE=∠MEA；然后由圆周角定理得到∠MAE=∠MBC，则∠MEC=∠MBC，易证得∠MEA+∠CEB=∠MBC+∠CBE，即∠MEB=∠MBE，则ME=MB，得到MA=MB，即有MN垂直平分AB，根据弦的垂直平分线必过圆心判断MN为△ABC外接圆的直径．

本题考点：垂径定理；等腰三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．也考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质．