题目

常微分方程.变量代换问题
dy/dx=（2x^3+3x*y^2+x)/(3x^2*y+2y^3-y)
可是差个符号..不是全微分方程吧..(而且我刚学常微分)..还没有学到全微分的解法

提问时间：2021-03-28

答案

（2x^3+3x*y^2+x)dx+[-(3x^2*y+2y^3-y)]dy=0
看高数书5版283页 公式就出来了
打太费劲了
若P(x,y)dx+Q(x,y)dy=du(x,y),则称Pdx+Qdy=0为全微分方程,显然,这时该方程通解为u(x,y)=C(C是任意常数).
根据二元函数的全微分求积定理:设开区域G是一单连通域,函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,则P(x,y)dx+Q(x,y)dy在G内为某一函数u(x,y)的全微分的充要条件是P'(y)=Q'(x),在G内恒成立.
例：判断方程（3x26xy2)dx+(4y3+6x2y)dy=0是否全微分方程,并求其通解
（3x^2+6xy^2)dx+(4y^3+6x^2y)dy=0,
P=3x^2+6xy^2,Q=4y^3+6x^2y,
δP/δy=12xy=δQ/δx,
所以这是全微分方程,
u(x,y)=∫[0,x](3x^2+6xy^2)dx+∫[0,y]4y^3dy
=x^3+3x^2y^2+y^4,
x^3+3x^2y^2+y^4=C.