题目

绝对值一元二次方程解法

提问时间：2021-03-27

答案

方法一；分类讨论,即找出分段点,考虑当绝对值符号内数式等于o时,x取值,由此分划x取值范围.例如 处理∣x+4∣将x范围分为x小于-4,x等于-4及x大于-4,这样消去了绝对值,将原方程转化为普通方程,进而求解.又如解∣x∣²-4=3∣x∣时分别考虑x大于0,等于0及小于0三种情况.但需要检验结果.（如给定方程考虑当x大于0时解得x=-6,矛盾!）关于划分范围的方法若不是很熟练,可参看百科“零点分段法”.
方法二：整体换元.例如解x²-4=6∣x∣,如果分类讨论,虽然可行但较为繁琐.这里,我们可以将x²看成∣x∣²,则有∣x∣²-4=6∣x∣,把∣x∣视为未知数求解,解得∣x∣再分情况讨论（上一题也可以）,运算量就明显降低.从这里就可看出换元法的一个优点,形象的说,就是“过河拆桥”.
当然有些含绝对值的一元二次方程并非一定要使用此两种方法（但这两种方法一般而言适用性很强）.对于有些解法较为巧妙的试题（例如求含绝对值的二元二次方程组解的个数）,可以通过观察,分析问题本质,设而不求,有时也是一种思路.总之试题千变万化,因此解法也不必拘泥于以上两种方法.