题目

设n是正整数,求证：7整除（3的2n+1次方+2的n+2次方）

提问时间：2021-03-27

答案

想不出来更简单的了.
方法1：因为3^1+2^2=7被7整除.
而且3^(2n+1)+2^(n+2)
=3^(2n-1)*7+3^(2n-1)*2+2*2^(n+1)
=3^(2n-1)*7+2*[3^(2n-1)+2^(n+1)]
=3^(2n-1)*7+2*[3^(2n-3)*7+3^(2n-3)*2+2*2^n]
=3^(2n-1)*7+2*3^(2n-3)*7+2*2[3^(2n-3)+2^n]
……
=7A+2*2*2*……*2*(3^1+2^2)
所以7整除（3的2n+1次方+2的n+2次方）
方法2
因为3的2n+1次方+2的n+2次方
=3^(2n+1)+2^(n+2)
=3*3^2n+4*2^n
=3*3^2n+4*2^n
=3*9^n+4*2^n
=3*(7+2)^n+4*2^n
=3*(7+2)(7+2)^(n-1)+4*2^n
=3*7(7+2)^(n-1)+3*2(7+2)^(n-1)+4*2^n
=3*7(7+2)^(n-1)+3*2*7(7+2)^(n-2)+3*2*2(7+2)^(n-2)+4*2^n
……
=7A+3*2*2*……*2+4*2^n
=7A+3*2^n+4*2^n
=7A+7*2^n
所以7整除（3的2n+1次方+2的n+2次方） .