题目

如图，在四棱锥P-ABCD中，CD∥AB，AD⊥AB，AD=DC=mAB，BC⊥PC．

（1）当m＝

1

2

提问时间：2021-03-27

答案

证明：（1）连接AC，过C作CE⊥AB，垂足为E，
在四边形ABCD中，AD⊥AB，CD∥AB，
当m＝

1

2

时，
AD=DC，所以四边形ADCE是正方形．
所以∠ACD=∠ACE=45°
因为AE=CD=

1

2

AB，所以BE=AE=CE
所以∠BCE═45°
所以∠ACB=∠ACE+∠BCE=90°
所以AC⊥BC，又因为BC⊥PC，AC∩PC=C，AC⊂平面PAC，PC⊂平面PAC
所以BC⊥平面PAC，而PA⊂平面PAC，所以PA⊥BC．（7分）
（2）当m＝

1

3

时，M点满足PM＝

1

3

PB，CM∥平面PAD，（8分）
证明：取AP的三等分点F，连接CM，FM，DF．则FM∥AB，FM=

1

3

AB，
因为CD∥AB，CD=

1

3

AB，所以FM∥CD，FM=CD．（10分）
所以四边形CDFM为平行四边形，所以CM∥DF，（11分）
因为DF⊂平面PAD，CM⊄平面PAD，所以，CM∥平面PAD．（13分）