题目

根号2 乘以（sinx+cosx)=tanx+cotx 解方程

提问时间：2020-10-30

答案

根号2 乘以（sinx+cosx)=tanx+cotx
2（根号2/2 *sinx+根号2/2 *cosx)=sinx/cosx+cosx/sinx
2sin(x+∏/4)=（sin^2x+cos^2x）/sinxcosx
2sin(x+∏/4)*1/2sin2x=1
sin(x+∏/4)*sin(2(x+∏/4)-∏/2)=1
-sin(x+∏/4)*cos(2(x+∏/4))=1
-sin(x+∏/4)*(1-2sin^2(x+∏/4))=1
令sin(x+∏/4)=t
则上式变为
-t(1-2t^2)=1
2t^3-t-1=0
t^3-t+t^3-1=0
t(t-1)(t+1)+(t-1)(t^2+t+1)=0
(t-1)(t^2+t+t^2+t+1)=0
(t-1)(2t^2+2t+1)=0
解得t=1
sin(x+∏/4)=1
x=2k∏+∏/4 (k∈z)