题目

数学圆锥曲线 已知点A（-1,0）,B（1,0）,动点M的轨迹曲线C满足
已知点A（-1,0）,B（1,0）,动点M的轨迹曲线C满足∠AMB=2θ|AM|•|BM|cos2θ=3,过点B的直线交曲线C于P、Q两点．
（1）求|AM|+|BM|的值,并写出曲线C的方程；
（2）求△APQ面积的最大值．

提问时间：2021-03-27

答案

设M(x,y)
在△MAB中,|AB|＝2,∠AMB＝2a
由余弦定理得：
|AB|²＝|AM|²＋|BM|²－2|AM|•|BM|•cos2a＝4
|AM|²＋|BM|²－2|AM|•|BM|•(2cos²a－1)＝4
|AM|²＋|BM|²＋2|AM|•|BM|－2|AM|•|BM|•(2cos²a－1)－2|AM|•|BM|＝4
(|AM|＋|BM|)²－( 2|AM|•|BM|•(2cos²a－1)＋2|AM|•|BM| )＝4
(|AM|＋|BM|)²－2|AM|•|BM|•(2cos²a)＝4
(|AM|＋|BM|)²－4|AM|•|BM|•cos²a＝4
(|AM|＋|BM|)²＝16
∴|AM|＋|BM|＝4
因此点M的轨迹是以A、B为焦点的椭圆,a＝2,c＝1
∴曲线C的方程为(x²/4)＋(y²/3)＝1
2.
过A点的一条直线,交椭圆于P.Q两点,求三角形BPQ内切圆的最大值
回答
设直线PQ的方程为x＝my＋1(m∈R)
由：
{x＝my＋1
{(x²/4)＋(y²/3)＝1
得：
(3m²＋4)y²＋6my－9＝0 ①
显然,方程①的Δ＞0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则有S＝1/2×2×|y1－y2|＝|y1－y2|
y1＋y2＝－6m/(3m²＋4),y1y2＝－9/(3m²＋4)
(y1－y2)²＝(y1＋y2)²－4y1y2＝48×[(3m²＋3)/(3m²＋4)²]
令t＝3m²＋3,则t ≥ 3
(y1－y2)²＝48/[t＋(1/t)＋2]
由于函数y＝t＋(1/t)在[3,＋∞)上是增函数
∴t＋(1/t) ≥ 10/3
故(y1－y2)² ≤ 9
即S ≤ 3
∴△BPQ的最大值是3．