题目

已知a+b+c=1(a,b,c为正数) 求证 (1/(b+c)-a)(1/(a+c)-b)(1/(a+b)-c)≥(7/6)^3

提问时间：2021-03-27

答案

因为a+b+c=1 且a,b,c为正数
因此b+c=1-a
那么 (1/(b+c)-a) = 1/(1-a)-a =1-a+a/(1-a)
同理,(1/(a+c)-b)=1-b+b/(1-b)
(1/(a+b)-c)=1-c+c/(1-c)
上面是一个对称多项式,所以在a=b=c=1/3 时有最小值.
a=b=c=1/3时,上面多项式= [1-1/3+(1/3)/(2/3)]^3=(7/6)^3
所以 (1/(b+c)-a)(1/(a+c)-b)(1/(a+b)-c)≥(7/6)^3