题目

关于万有引力那一章的
两颗卫星在同一轨道平面沿同方向绕地球做匀速圆周运动,地球半径为R,a卫星离地面的高度等于R,b卫星离地面的高度等于3R,则：
1.a、b两卫星的周期之比Ta：Tb是多少?
2.若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点的正上方,则a至少经过多少个周期两卫星相距最远?
especially第二问!

提问时间：2021-03-26

答案

质量为M、m 的两个物体距离为 r 时,有万有引力 GMm/r^2
(附录说明：^2 代表平方运算,^3 代表立方运算）
如果 m 绕 M 做圆周运动,那么万有引力即为向心力.
GMm/r^2 = m*v^2/r
其中 v = 2πr/T.代入上式
GM/r^2 = 4 π^2 r/T^2
所以 T^2 = (4π^2/GM)*r^3 = 常数*r^3
以上即为 开氏定律 的原理.
对于本问题,卫星a的半径 ra = R+R = 2R,卫星b的半径为 rb = R+3R = 4R
所以 两卫星的周期的平方比为
(Ta^2):(Tb^2) = (ra^3):(rb^3) = (2R)^3 : (4R)^3 = 8:64 = 1:8
因此 周期比为
Ta : Tb = 1 : √8 = 1 : 2√2
第二问
以两卫星处于同一经纬度时刻为时间零点.以时间 t 作为自变量,以从零点时刻开始算起转过的角度 Y 为因变量.则
Y = ωt = 2 π t/T （ω 代表角速度）
两卫星相距最远时,Ya - Yb = (2k+1)π
a至少经过的周期 对应 k = 0
Ya - Yb = π
2πt*(1/Ta - 1/Tb) = π
2πt*[1/Ta - 1/(2√2Ta)] = π
2t/Ta * (1 - 1/(2√2）] = 1
t/Ta = (4+√2)/7
t = 0.77 Ta