题目

求f(z)=e^z/(z^2-1)在无穷远点的留数
我用规则4计算时,化成Res[e^(1/z)/(1-z^2),0],然后将e^(1/z)/(1-z^2)展开成z的洛朗级数,发现含有无穷多个正幂项（无负幂项）,所以认为它在无穷远点的留数为零,请问这样可以吗?但答案是-sh1,请问是方法错了,还是计算错了?

提问时间：2021-03-26

答案

首先找出f（z）的奇点,为z=±1且都是一介极点
那么无穷远点的留数就等于这两点的留数和的相反数,
z=-1点的留数,根据定理得到{(e^z)/(z-1)｜[z=-1]}=(-1/2)e^(-1)
z=1点的留数为（1/2）e
那么无穷远点的留数为-[(-1/2)e^(-1)+（1/2）e]=-sh1
至于你说的那个规则4,我就不清楚了,一般来说,计算留数时不是去把函数展成洛朗级数,然后找相关的系数,而是根据求留数的相关定理去求
展成洛朗级数去求留数这个只是理论上的推导,实际上我们很少用到