题目

若d是△abc内的一点,且ab2-ac2=db2-dc2,求证ad⊥bc
若D是三角形ABC内的一点,且AB2-AC2=DB2-DC2,求证AD垂直于DC （此乃向量题）

提问时间：2021-03-25

答案

题目结论应该是AD⊥BC.
为省事,向量符号就不打了啊~
由已知,|AB|^2-|BD|^2=|AC|^2-|CD|^2
|AB|^2-|BD|^2=(AB+BD)·(AB-BD)=AD·(AB-BD).
|AC|^2-|CD|^2=(AC+CD)·(AC-CD)=AD·(AC-CD).
所以0=AD·[(AB-BD)-(AC-CD)]=AD·[(AB-AC)+(CD-BD)]=2AD·CB.即AD⊥BC.
顺便说一句,这个结论还挺重要的,不妨留有印象.