题目

已知数列通项 bn=(n+2)^2-8 试证,不存在正整数k和m（1提问时间：2021-03-24

答案

b1 = (1+2)^2-8=1
假设存在正整数k,n,是的 b1, bk , bn成等比数列

所以 bk^2 = b1*bn[(k+2)^2-8]^2 = (n+2)^2-8

8= (n+2)^2 - [(k+2)^2-8]^2 = [ (n+2)-[(k+2)^2-8]]*[(n+2)+[(k+2)^2-8]]
所以 (n-(k+2)^2+10)*(n+(k+2)^2-6) = 8 因为n,k∈Z+ , 所以 (n-(k+2)^2+10)∈Z; n+(k+2)^2-6∈Z

注意到 (k+2)^2-8>0 所以 n+(k+2)^2-6>n-(k+2)^2+10 有以下可能

1# n+(k+2)^2-6 = 8 ; n-(k+2)^2+10 =1 解之, n = 5/2 不是整数,不可
2# n+(k+2)^2-6 =4; n-(k+2)^2+10=2 解之, n= 1, k=1 与13# n+(k+2)^2-6= -1 ; n-(k+2)^2+10= -8 ;易知 n<0 不可
4# n+(k+2)^2-6= -2 ; n-(k+2)^2+10= -4 ;易知 n<0 不可

所以不存在正整数k,n,是的 b1, bk , bn成等比数列