题目

f（x）=x|x-a|,若对任意X1,X2∈[2,+∞）,X1≠X2,不等式{f(x1)-f(x2)/x1-x2}≥0恒成立,则a的取值范围?

提问时间：2021-03-23

答案

由题意知f（x）=x|x-a|在[2,+∞）上单调递增．
（1）当a≤2时,
若x∈[2,+∞）,则f（x）=x（x-a）=x2-ax,其对称轴为x=a 2 ,
此时a 2 ＜2,所以f（x）在[2,+∞）上是递增的；
（2）当a＞2时,
①若x∈[a,+∞）,则f（x）=x（x-a）=x2-ax,其对称轴为x=a 2 ,所以f（x）在[a,+∞）上是递增的；
②若x∈[2,a）,则f（x）=x（a-x）=-x2+ax,其对称轴为x=a 2 ,所以f（x）在[a 2 ,a）上是递减的,因此f（x）
在[2,a）上必有递减区间．
综上可知a≤2．
故答案为（-∞,2]