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题目
已知y=f(x)是定义域为[-6,6]的奇函数,且当x∈[0,3]时是一次函数,当x∈[3,6]时是二次函数,又f(6)=2,当x∈[3,6]时,f(x)≤f(5)=3.求f(x)的解析式.

提问时间:2021-03-23

答案
因为f(x)为奇函数,所以f(0)=-f(0),f(0)=0,
当x∈[0,3]时,设f(x)=kx+b,则b=0.
当x∈[3,6]时,由题设,当x∈[3,6]时,f(x)≤f(5)=3,可设f(x)=-a(x-5)2+3.
因为f(6)=2,所以-a+3=2,所以a=1.
所以x∈[3,6]时f(x)=-(x-5)2+3=-x2+10x-22,
所以f(3)=-1,所以3k=-1,所以k=−
1
3

∴当x∈[0,3]时,f(x)=
1
3
x
∵f(x)为奇函数
∴x∈[-3,0]时,f(x)=-f(-x)=
1
3
x,
当x∈[-6,-3]时,f(x)=-f(-x)=x2+10x+22.
所以f(x)=
x2+10x+22,x∈[−6,−3]
1
3
x,x∈[−3,3]
x2+10x−22,x∈[3,6]
根据当x∈[0,3]时是一次函数,当x∈[3,6]时是二次函数,又f(6)=2,当x∈[3,6]时,f(x)≤f(5)=3,可先求出x∈[0,3],x∈[3,6]时的解析式,再利用f(x)为奇函数,可求出x∈[-3,0],x∈[-6,-3]时的解析式,从而得到f(x)在R上的解析式.

函数奇偶性的性质.

本题重点考查函数的解析式,考查函数的奇偶性,解题的关键是求出x∈[0,3],x∈[3,6]时的解析式.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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