题目

设u=f(x,y)可微,且满足方程x(σ f/σ x)+y(σ f/σ y)=0
证明:f(x,y)在极坐标系中只与θ有关.

提问时间：2021-03-23

答案

x=rcosθ,y=rsinθ
σx/σr=cosθ,σy/σr=sinθ
σf/σr=(σf/σx)(σx/σr)+(σf/σy)(σy/σr)
.=(σf/σx)cosθ+(σf/σy)sinθ
.=[(σf/σx)rcosθ+(σf/σy)rsinθ]/r
.=[(σf/σx)x+(σf/σy)y]/r
.=0
σf/σr=0,说明f与r无关,即f只与θ有关.