题目

设数列{an}满足a1=3,a[n+1]=2an+n乘以2的n+1次方+3的n次方,n大于等于1,求an的通项公式

提问时间：2021-03-22

答案

a2=13
a(n+1)=2an+n.2^(n+1)+3^n
两边同时减去3^(n+1)得到：
a(n+1)-3^(n+1)=2an+n.2^(n+1)-2.3^n
这一步很容易想到,由题可知要成等比数列,基本形式是:
a(n+1)-A.2^(n+1)-3^(n+1)=2(an-B.2^n-3^n)
但是用一般的容易想到的配方法根本不能做出来,因此考虑系数特殊的时候：
对n.2^(n+1)进行处理,要使达到等比的形式,根据题可设两边同时减去一个二项式A=[a(n+1)^2+b(n+1)],两边要对应起来,故得到：
n-a(n+1)^2-b(n+1)= -an^2-bn (a,b都为常数)化简得到：
n-2an-a-b=0 --------------a=1/2 b= -1/2
因此减去的二项式为：
A=[(n+1)^2/2 -(n+1)/2]
于是得到：
a(n+1)-3^(n+1) -(n+1)^2.2^(n+1)/2+(n+1).2^(n+1)/2=2an-2.3^n+n.2^(n+1)-(n+1)^2.2^(n+1)/2+(n+1).2^(n+1)/2= 2an-2.3^n-n^2.2^(n+1)/2+n.2^(n+1)/2 ,因此得：
a(n+1)-3^(n+1) -(n+1)^2.2^(n+1)/2+(n+1).2^(n+1)/2=2[an-3^n-n^2.2^n/2+n.2^n/2]
所以：
数列{an-3^n-n^2.2^n/2+n.2^n/2}是以2为公比的等比数列：
连乘得到：
[an-3^n-n^2.2^n/2+n.2^n/2] /[a2-9-8+4]=2^(n-1)
a2-9-8+4=0……………………
楼主题写错了吧?
这个不可能弄不出来啊