题目

如图,设P是圆x^2+y^2=25上的动点,点D是P在x轴上的射影,M为PD上一点,且|MD|=4/5|PD|.(1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程.(2)求过点(3,0)且斜率为4/5的直线被所截线段的长度.

提问时间：2021-03-21

答案

（Ⅰ）设M的坐标为（x,y）P的坐标为（xp,yp）
由已知得：{xp=xyp=54y
∵P在圆上,
∴x2+(54y)2=25,即C的方程为x225+y216=1．
（II）过点（3,0）且斜率为45的直线方程为：y=45(x-3),
设直线与C的交点为A（x1,y1）B（x2,y2）,
将直线方程y=45(x-3)代入C的方程,得x225+(x-3)225=1 即：x2-3x-8=0∴x1=3-412,x2=3+412,
∴线段AB的长度为|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(1+1625)2(x1-x2)2
=41•4125=415．