题目

高中立体几何,关于球的一道计算题
在三棱锥S—ABC中,AB⊥BC,AB=BC= ,SA=SC=2,二面角S—AC—B的余弦值是 负三分之根号三 ,若S、A、B、C都在同一球面上,则该球的表面积是（ ）

提问时间：2021-03-21

答案

取AC中点D,连接SD,BD,
因为AB=BC=根号2,所以BD⊥AC,
因为SA=SC=2,所以SD⊥AC,AC⊥平面SDB．
所以∠SDB为二面角S-AC-B．
在△ABC中AB⊥BC,AB=BC=根号2,
所以AC=2．
取等边△SAC的中心E,作EO⊥平面SAC,
过D作DO⊥平面ABC,O为外接球球心,
所以ED=根号3/3,二面角S-AC-B的余弦值是-根号3/3,所以cos∠EDO=根号6/3,OD=根号2/2,
所以BO=根号(BD^2+OD^2)=根号6/3=OA=OS=OC
所以O点为四面体的外接球球心,
其半径为根号6/2,表面积为6π