题目

P（x0,y0）（x0不等于正负a)是双曲线E：x2/a2-y2/b2=1上的一点,M,N分别是双曲线E的左右顶点
直线PM,PN的斜率之积为1/5.
（1）求双曲线的离心率；
（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A,B两点,O为坐标原点,C为双曲线上一点,满足向量OC=z*向量OA+向量OB,求z的值.

提问时间：2021-03-21

答案

（1）∵P（x0,y0）（x0≠±a）是双曲线E：x^2a^2-y^2b^2=1(a＞0,b＞0)上一点,
∴ x0^2a^2-y0^2b^2=1,
由题意又有 y0x0-a•y0x0+a=15,
可得a^2=5b^2,c^2=a^2+b^2,
则e= c/a=根号30/5,
（2）联立 {x^2-5y^2=5b^2
y=x-c,
得4x^2-10cx+35b^2=0,
设A（x1,y1）,B（x2,y2）,
则x1+x2= 5c/2,x1•x2= 35b^2/4,
设 OC→=（x3,y3）,OC→=λOA→+OB→,
即 {x3=λx1+x2
y3=λy1+y2
又C为双曲线上一点,即x3^2-5y3^2=5b^2,
有（λx1+x2）^2-5（λy1+y2）^2=5b^2,
化简得：λ^2（x1^2-5y1^2）+（x2^2-5y2^2）+2λ（x1x2-5y1y2）=5b^2,
又A（x1,y1）,B（x2,y2）在双曲线上,所以x1^2-5y1^2=5b^2,x2^2-5y2^2=5b^2,
而x1x2-5y1y2=x1x2-5（x1-c）（x2-c）=-4x1x2+5c（x1+x2）-5c^2=10b^2,
得λ2+4λ=0,解得λ=0或-4．