题目

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，点E在线段PC上，且PA∥平面EDB．

（Ⅰ）证明：E是PC的中点
（Ⅱ）求EB与底面ABCD所成的角的正切值．

提问时间：2021-03-21

答案

（Ⅰ）证明：连接AC、AC交BD于O．连接EO
∵底面ABCD是正方形
∴点O是AC的中点．
∵PA∥平面EDB，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面EBD=EO
∴PA∥EO
∴E是PC的中点
（Ⅱ） 作EF⊥DC交CD于F．连接BF，设正方形ABCD的边长为a．
∵PD⊥底面ABCD
∴PD⊥DC
∴EF∥PD，F为DC的中点
∴EF⊥底面ABCD…6分，
BF为BE在底面ABCD内的射影，
故∠EBF为直线EB与底面ABCD所成的角．
在Rt△BCF中，
BF=

BC2+CF2

=

a2+( a 2 )2

=

5

2

a
∵EF=

1

2

PD=

a

2

∴在Rt△EFB中：tanEBF=

EF

BF

=

a 2

5 2 a

=

5

5

所以EB与底面ABCD所成的角的正切值为

5

5

．

（Ⅰ）先连接AC、AC交BD于O．连接EO可得点O是AC的中点；再结合PA∥平面EDB得到PA∥EO进而得到E是PC的中点．
（Ⅱ）作EF⊥DC交CD于F，连接BF，根据PD⊥底面ABCD可得EF⊥底面ABCD；进而得∠EBF为直线EB与底面ABCD所成的角，最后通过求边长即可得到答案．

本题考点：直线与平面所成的角．

考点点评：本题主要考察线面所成的角以及线面平行的应用．解决线面角问题的关键在于先找出面的垂线．