题目

数列An满足前n项和为Bn,积为Cn,Bn+Cn=1 求1/An的通项

提问时间：2021-03-21

答案

令n=1,则
B(1)=C(1)=A(1),
由于B(1)+C(1)=2×A(1)=1,
所以A(1)=B(1)=C(1)=1/2；
令n=2,则
B(2)=A(1)+A(2)=1/2+A(2)
C(2)=A(1)×A(2)=(1/2)A(2)
由于B(2)+C(2)=1/2+A(2)+(1/2)A(2)=1
所以A(2)=1/3；
令n=3,则
B(3)=A(1)+A(2)+A(3)=1/2+1/3+A(3)=5/6+A(3)
C(3)=A(1)×A(2)×A(3)=(1/6)A(3)
由于B(3)+C(3)=5/6+A(3)+(1/6)A(3)=1
所以A(3)=1/7；
令n=4,则
B(4)=A(1)+A(2)+A(3)+A(4)=1/2+1/3+1/7+A(4)=41/42+A(4)
C(4)=A(1)×A(2)×A(3)×A(4)=(1/42)A(4)
由于B(4)+C(4)=41/42+A(4)+(1/42)A(4)=1
所以A(4)=1/43；
令n=5,则
B(5)=A(1)+A(2)+A(3)+A(4)+A(5)=1/2+1/3+1/7+1/43+A(5)=1805/1806+A(5)
C(5)=A(1)×A(2)×A(3)×A(4)×A(5)=(1/1806)A(5)
由于B(5)+C(5)=1805/1806+A(5)+(1/1806)A(5)=1
所以A(5)=1/1807；
……
有以上可见,设{1/A(n)}为数列{X(n)},其前几项为：2,3,7,43,1807,
即1+1=2,1×2+1=3,2×3+1=7,6×7+1=43,42×43+1=1807
可见X(n)}的通项满足X(1)=2,X(n)=[X(n-1)-1][X(n-1)]+1,
即[X(n)-1]/[X(n-1)-1]=X(n-1)
由此可求得
X(n)=X(1)×X(2)×…×X(n-1)+1.
即1/A(n)等于前面的项相乘的乘积加1.