题目

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，BE、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线，BE和AD交于G，求证：GF∥AC．

提问时间：2021-03-20

答案

证明：连接EF．
∵∠BAC=90°，AD⊥BC．
∴∠C+∠ABC=90°，∠C+∠DAC=90°，∠ABC+∠BAD=90°．
∴∠ABC=∠DAC，∠BAD=∠C．
∵BE、AF分别是∠ABC、∠DAC的平分线．
∴∠ABG=∠EBD．
∵∠AGE=∠GAB+∠GBA，∠AEG=∠C+∠EBD，
∴∠AGE=∠AEG，
∴AG=AE，
∵AF是∠DAC的平分线，
∴AO⊥BE，GO=EO，
∵

∠ABO＝∠FBO BO＝BO ∠AOB＝∠FOB＝90°

∴△ABO≌△FBO，
∴AO=FO，
∴四边形AGFE是平行四边形，
∴GF∥AE，
即GF∥AC．

从角的角度证明困难，连接EF，在四边形AGFE的背景下思考问题，证明四边形AGFE为特殊平行四边形，证题的关键是能分解出直角三角形中的基本图形．

本题考点：平行四边形的判定与性质；三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评：此题主要考查平行四边形的判定与性质，三角形的外角性质和全等三角形的判定与性质的综合运用．