题目

帮我做哈关于一阶线性微分的题啊
求满足微分方程Y’-Y=4XEx、Y（0）=0、Y’（0）=1的特解
一质点在一直线上由静止状态开始运动,其加速度a=-4s(t)+3sint,求运动方程s(t),并求其离起始点的最大距离
一质量为m的潜水艇从水面由静止状态下沉,所受阻力与下沉速度成正比(比例系数为k>0),试求潜水艇下沉深度与时间t的关系

提问时间：2021-03-20

答案

假设为f(x)e^x代入得f'(x)e^x=4xe^x所以f(x)=2x^2即一个特解为
y=2x^2e^x
（人家问特解是在没有初值条件下问的,初值条件都给出来了由解的唯一性还谈什么特解）
这里得到它的通解具有形式
y=2x^2e^x+Ce^x,
代入y(0)=0可得C=0,从而解就是y=2x^2e^x
(注意一阶微分方程给的初值条件只要给出某个x0处y(x0))的值,你连一阶导数都给出来相当条件给多了可能出现矛盾的情况保证不了解的存在性,像这里你把x=0
代入就知道跟你条件矛盾.所以你该去好好反省一下微分方程解的存在唯一性本质是什么了.
得微分方程：
s''+4s=3sint 初始条件s(0)=0,解得s(t)=sint
得f=kv,a=f/m=kv/m得微分方程v'=kv/m
解得v=C*e^(kt/m)(这样题目的条件给我们v(0)=0好像不太合理了)
所以深度h=∫vdt这个积分也很容易,不过给的初值条件我无法合理解释它,从而得不出最后的解来.（你自己试着按照我的思想去解看看是不是）