题目

已知F1F2分别是椭圆x²/a²+y²/b²=1（a＞b＞0）左右焦点,上顶点为M,若在椭圆上存在一点P,分别连结PF1,PF2交y轴于AB,且满足向量BP=向量PF2,OA=λOM,则实数λ取值范围
求详解

提问时间：2021-03-20

答案

好吧做一下
由题M(0,b)设A(0,yA),B(0,yB),P(xP,yP)
向量(BP=PF2),得 xP=c/2,yP=yB/2,即 P(c/2,yB/2)
向量(OA=λOM)得 yA=λb
F1(-c,0),F2(c,0),设直线PF1,PF2直线方程分别为
y=k1(x+c).(1)
y=k2(x-c).(2)
联立方程可解得交点P坐标
xP=c(k1+k2)/(k2-k1)=c/2.(3)
yP=2ck1k2/(k2-k1)=yB/2.(4)
令(1)x=0可得yA=ck1=λb.(5)
令(2)x=0可得yB=-ck2.(6)
由(5)可得k1=λb/c
由(3)可得k2=-3k1=-3λb/c
由(6)得yB=3λb
由(4)得yP=3λb/2
得P(c/2,3λb/2)
P点在椭圆x²/a²+y²/b²=1上有
c²/(2a)²+(3λb)²/(2b)²=1得
9λ²=4-(c/a)²∈(3,4) 其中c/a=e∈(0,1)
解得 λ∈(1/√3,2/3)U(-2/3,-1/√3)