题目

1^2+2^2+3^2+4^2+···+n^2的通项公式是——谢谢!

提问时间：2021-03-19

答案

这个可以推出来的 课本上是用 完全归纳法 其实还有一种
由于(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1
所以
2 ^3 = 1 ^3 + 3* 1 ^2 + 3* 1 + 1
3 ^3 = 2 ^3 + 3* 2 ^2 + 3* 2 + 1
4 ^3 = 3 ^3 + 3* 3 ^2 + 3* 3 + 1
5 ^3 = 4 ^3 + 3* 4 ^2 + 3* 4 + 1
… …
n ^3 = (n-1)^3 + 3*(n-1)^2 + 3*(n-1) + 1
(n+1)^3 = n ^3 + 3* n ^2 + 3* n + 1
上面所有式子相加,并在两边同时减去相同的项：
(n+1)^3 = 1^3 + 3*[1^2+2^2+3^2+4^2+…+(n-1)^2+n^2]+3*[1+2+3+4+…+(n-1)+n]+n
不妨记[1^2+2^2+3^2+4^2+…+(n-1)^2+n^2]为S.
则n^3+3n^2+3n+1=1+3*S+3*(1+n)*n/2+n
化简得：S=n(n+1)*(2n+1)/6