题目

已知等比数列｛an｝的各项均为正数,且2a1+3a2=1,a3^2=9a2a6
第二问,设bn=2n-1,Cn=bn/an,求数列｛Cn｝的前n项和.今天下午就要的.

提问时间：2021-03-20

答案

1）
令等比数列an的通项公式为：
an=a1q^(n-1),则：
2a1+3a1q=1
(a1q²)²=9a1qa1q^(5)
于是：
2a1+3a1q=1
q²=1/9
因此：
q=1/3 或者 -1/3
又∵an>0
因此：q=1/3,于是：
a1=1/3
an=(1/3)^n
2)
cn=bn/an
=(2n-1)/(1/3)^n
令数列{cn}的前n项和为Tn,则：
Tn=1/(1/3) + 3/(1/3)² + 5/(1/3)³ + .+ (2n-1)/(1/3)^n
而：
Tn/3 = 1/(1/3)² + 3/(1/3)³ + .+ (2n-3)/(1/3)^n + (2n-1)/(1/3)^(n+1)
上述两式相减：
2Tn/3 =1/(1/3) + 2[1/(1/3)² + 1/(1/3)³+ ...+ 1/(1/3)^n] - (2n-1)/(1/3)^(n+1)
=1/(1/3) + 2[1/(1/3)²]*[1-(1/3)^(n-1)] / (2/3) - (2n-1)/(1/3)^(n+1)
=3 + 27[1-(1/3)^(n-1)] - (2n-1)/(1/3)^(n+1)
Tn = 9/2 + (81/2)[1-(1/3)^(n-1)] - [3(2n-1)/2(1/3)^(n+1)]