题目

如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB=2

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（1）求直线AM与平面BCD所成的角的大小；
（2）求平面ACM与平面BCD所成的二面角的正弦值．

提问时间：2021-03-19

答案

（1）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD．又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD，所以MO∥AB，A、B、O、M共面．延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角．OB=MO=3，MO∥AB，则EOEB＝MOAB＝12，EO＝OB...

（1）取CD中点O，连OB，OM，延长AM、BO相交于E，根据线面所成角的定义可知∠AEB就是AM与平面BCD所成的角，在三角形AEB中求出此角即可；
（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线，作BF⊥EC于F，连AF，根据二面角的平面角的定义可知∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，在三角形AFB中求出此角的正弦值，从而求出二面角的正弦值．

本题考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面所成的角．

考点点评：本题主要考查了考查立体图形的空间感、线面角、二面角、空间向量、二面角平面角的判断有关知识，同时也考查了空间想象能力和推理能力．