题目

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1,(a>b>0)的半焦距为c,直线l的方程为bx+ay-ab=o,
若原点O到直线l的距离为(根号3/4）c,则双曲线的离心率为____________

提问时间：2021-03-19

答案

原点(0,0)到直线bx＋ay=ab的距离是d=|ab|/√(a²＋b²)=(√3/4)c,
两边平方得：a²b²=(3/16)c²(a²＋b²)=(3/16)(c²)²,
即：16a²(c²－a²)=3(c²)²,展开,16a²c²－16c^4=3c^4,
两边除以a^4,得：3e^4－16e²＋16=0,
解得e²=4或e²=4/3.
因为a>b,所以a^2>b^2,
即a^2>c^2-a^2,2a^2>c^2,
所以c^2/a^2