题目

已知(1+x+x2)(x+

1

x3

)n的展开式中没有常数项，n∈N^*，2≤n≤8，则n=______．

提问时间：2021-03-18

答案

依题(x+

1

x3

)n对n∈N^*，2≤n≤8中，展开式中没有常数项
∴(x+

1

x3

)n不含常数项，不含x^-1项，不含x^-2项
(x+

1

x3

)n展开式的通项为T_r+1=C_n^rx^n-rx^-3r=C_n^rx^n-4r
据题意知

n−4r＝0 n−4r＝−1 n−4r＝−2

当n∈N^*，2≤n≤8时无解
通过检验n=5
故答案为5

先将问题转化成二项式的展开式中没有常数项，利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．转化成方程无解．

本题考点：二项式定理的应用．

考点点评：本题考查数学中的等价转化的能力和利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项．