题目

已知a>0,f(x)=x+alnx,若对区间（1/2,1）内的任意两个相异的实数x1,x2,恒有|f(x1)-f(x2)|>|1/x1-1/x2|
问a的取值范围

提问时间：2021-03-18

答案

　　证明：|f（x1）-f(x2)|>|1/x1-1/x2|=|(x1-x2)/x1x2|
　　∵x1,x2∈（1/2,1）
　　所以等价于 |(f(x1)-f(x2))/(x1-x2)|>1/(x1x2)
　　又a>0,∴f'（x）>0.f(x)单增.
　　因为x1≠x2,不妨令x1>x2.
　　则等价于(f(x1)-f(x2))/(x1-x2)>1/(x1x2)
　　因为x1,x2的任意性,故(f(x1)-f(x2))/(x1-x2)>=4
　　由拉格朗日定理,等价于f'(x)>=4
　　又f'(x)=1+a/x>=4
　　a>=3x
　　∴a>=3