题目

数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}的前n项的和为T_n，{b_n}为等差数列且各项均为正数，a₁=1，a_n+1=2S_n+1（n∈N⁺），b₁+b₂+b₃=15．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）若a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，求T_n．

提问时间：2021-03-18

答案

（1）当n≥2时，a_n+1-a_n=（2S_n+1）-（2S_n-1+1）=2a_n．
∴a_n+1=3a_n，即

an+1

an

＝3 …4分
又 a₂=2S₁+1=3=3a₁  …2分
∴{a_n}是公比为3的等比数列    …8分
（2）由（1）得：a_n=3^n-1   …9分
设{b_n}的公差为d（d＞0），∵T₃=15，∴b₂=5  …11分
依题意a₁+b₁，a₂+b₂，a₃+b₃成等比数列，有（a₂+b₂）²=（a₁+b₁）（a₃+b₃），
∴64=（5-d+1）（5+d+9）
d²+8d-20=0，得d=2，或d=-10（舍去） …14分
故T_n=3n+

n(n−1)

2

×2=n²+2n         …16分．